Contributions en commande optimale et au problème du temps de crise : applications en irrigation

Cette thèse s'inscrit dans le domaine du contrôle optimal et se divise en deux parties.La première partie vise l'étude d'un problème de contrôle optimal issu de la modélisation, qui consiste à maximiser la production de biomasse au moment de la récolte sous une contrainte sur l'eau nécessaire à l'irrigation dans un contexte de ressources limitées.Le problème est présenté comme un problème de contrôle optimal sous contrainte d'état avec une cible, soumis à un système dynamique non-autonome dont le deuxième membre est non-lisse. Tout d'abord, nous examinons la contrainte d'état en comparant les trajectoires au-dessus du seuil à partir duquel la production de biomasse est maximale. Ensuite, nous appliquons le Principe du Maximum généralisé et nous montrons qu'une solution optimale peut avoir un ou plusieurs arcs singuliers uniquement sur les points non-lisses de la dynamique. Enfin, nous proposons trois stratégies différentes d'irrigation et nous faisons une comparaison numérique entre les 3.La seconde partie porte sur l'étude du problème de temps de crise, qui consiste à minimiser le temps passé par une trajectoire solution d'un système contrôlé en dehors d'un ensemble donné K. La caractéristique principale de ce type de problème est ladiscontinuité de l'intégrande par rapport à l'état au bord de l'ensemble K. Nous proposons d'abord une nouvelle méthode de régularisation du problème en utilisant un contrôle auxiliaire et une fonction de pénalité. Nous montrons la convergence de la suite de solutions optimales du nouveau problème régularisé vers une solution optimale du problème original.Nous proposons ensuite une méthode de régularisation plus générale où nous appliquons le Principe du Maximum de Pontryagin aux problèmes de contrôle optimal régularisé, et nous étudions la bornitude ainsi que la convergence des extrémales. Sous une hypothèse plus générale que celle habituellement employée dans la littérature, qui oblige toute solution optimale à traverser l'ensemble des contraintes de manière transversale, nous dérivons les conditions nécessaire d'optimalité du problème du temps minimal de crise.